GESP 客观题评测系统

2025-12-Level-8

试卷解析总览，可直接查看每题答案与解析。

单选题（每题 2 分）

第 1 题（单选题）

某平台生成“取件码”由6个字符组成：前4位为数字（0 - 9），后2位为大写字母（A - Z），其中字母不能为 I、O。假设数字和字母均可重复使用，要求整个取件码中恰好有2个数字为奇数。共有多少种不同取件码？（）

1,440,000

2,160,000

2,535,000

8,640,000

正确答案B

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【答案】B

【考点】分类计数；组合计数；乘法原理

【解析】前 4 位数字中恰好有 2 位奇数，先从 4 个位置里选出 2 个放奇数，有 C(4,2)=6 种。每个奇数位有 5 种填法，每个偶数位也有 5 种填法，所以前 4 位共有 6 × 5^2 × 5^2 = 3750 种。后 2 位是大写字母，且不能为 I、O，因此每位有 24 种选择，两位共有 24^2 = 576 种。总数是 3750 × 576 = 2160000，所以选 B。

【易错点】容易只统计前 4 位里奇数的位置，却漏掉偶数位也各有 5 种可选数字。

第 2 题（单选题）

下列代码实现了归并排序（Merge Sort）的分治部分。为了正确地将数组 a 的 [left, right] 区间进行排序，横线处应该填入的是（）。

void merge_sort(int a[], int left, int right) {
    if (left >= right) return;
    int mid = (left + right) / 2;
    merge_sort(a, left, mid);
    ___; // 在此处填入选项
    merge(a, left, mid, right); // 合并操作
}

merge_sort(a, mid, right)

merge_sort(a, mid + 1, right)

merge_sort(a, left, mid + 1)

merge_sort(a, mid - 1, right)

正确答案B

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【答案】B

【考点】归并排序；分治；递归区间

【解析】归并排序把区间 [left, right] 分成左半段 [left, mid] 和右半段 [mid+1, right]，分别排好序后再合并。前一行已经递归处理了左半段，所以横线处应递归处理右半段，即 merge_sort(a, mid + 1, right)。因此选 B。

【易错点】容易把右半段写成 [mid, right]，这样会让 mid 被重复处理。

第 3 题（单选题）

某社团有男生8人、女生7人。现需选出1名队长（性别不限）、1名副队长（性别不限）、2名宣传委员（两人无角色区别，且必须至少1名女生）。假如一人不能兼任多职，共有多少种不同选法？（）

12012

11844

12474

11025

正确答案A

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【答案】A

【考点】排列组合；分类讨论；限制条件计数

【解析】先选队长和副队长，这两个职务有先后顺序；再从剩余人中选2名宣传委员，宣传委员没有顺序，且至少1名女生。分三类讨论队长和副队长的性别。两人都是男生时，有 8×7 种，剩下7女6男，宣传委员有 C(13,2)-C(6,2)=63 种。一男一女时，有 8×7×2 种，剩下6女7男，宣传委员有 C(13,2)-C(7,2)=57 种；两人都是女生时，有 7×6 种，剩下5女8男，宣传委员有 C(13,2)-C(8,2)=50 种。总数是 8×7×63 + 8×7×2×57 + 7×6×50 = 12012，选 A。

【易错点】容易把队长和副队长当成无顺序，也容易忘记宣传委员“至少1名女生”的限制。

第 4 题（单选题）

二项式 $(2x - y)^8$ 的展开式中 $x^5 y^3$ 项的系数为（）。

-7168

7168

-1792

1792

正确答案C

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【答案】C

【考点】二项式定理；项的系数

【解析】在 (2x-y)^8 的展开式中，若要得到 x^5y^3，就要从8个因子里选3个取 -y，其余5个取 2x。系数为 C(8,3) × 2^5 × (-1)^3 = 56 × 32 × (-1) = -1792。所以选 C。

【易错点】容易漏掉 (-y)^3 里的负号。

第 5 题（单选题）

下面是使用邻接矩阵实现 Dijkstra 算法的核心片段，用于求单源最短路径。在找到当前距离起点最近的顶点 u 后，需要更新其邻接点 j 的距离。横线处应填入的代码是（）。

for (int j = 1; j <= n; j++) {
    if (!visited[j] && graph[u][j] < INF) {
        if (_____) { // 在此处填入选项
            dis[j] = dis[u] + graph[u][j];
        }
    }
}

dis[j] < dis[u] + graph[u][j]

dis[j] > dis[u] + graph[u][j]

graph[u][j] > dis[u] + dis[j]

dis[j] > graph[u][j]

正确答案B

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【答案】B

【考点】Dijkstra；最短路；松弛操作

【解析】 Dijkstra 更新邻点时，要比较原来的最短距离和经过 u 中转后的新距离。如果 dis[u] + graph[u][j] 更小，就更新 dis[j]。因此判断条件应为 dis[j] > dis[u] + graph[u][j]，选 B。

【易错点】方向很容易写反。更新条件一定是“新路更短”。

第 6 题（单选题）

下面程序使用动态规划求两个字符串的最长公共子序列（LCS）长度，横线处应填入的是（）。

#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

int lcs_len(const string &a, const string &b) {
    int n = (int)a.size(), m = (int)b.size();
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            if (a[i - 1] == b[j - 1])
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            else
                // 在此处填入选项
    return dp[n][m];
}

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;

正确答案C

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【答案】C

【考点】动态规划；最长公共子序列；状态转移

【解析】 LCS 中，当 a[i-1] == b[j-1] 时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。当两个字符不相等时，当前位置不能同时选这两个字符，只能舍去其中一个，所以取 max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。因此选 C。

【易错点】容易把不相等时也写成加1，那就变成错误转移了。

第 7 题（单选题）

已知两个点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$ 在平面直角坐标系中的坐标。下列C++表达式中，能正确计算这两点之间直线距离的是（）。

sqrt((x1 - x2) ^ 2 + (y1 - y2) ^ 2)

sqrt(pow(x1 - x2, 2) + pow(y1 - y2, 2))

pow(x1 - x2, 2) + pow(y1 - y2, 2)

abs(x1 - x2) + abs(y1 - y2)

正确答案B

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【答案】B

【考点】平面坐标；距离公式；C++ 表达式

【解析】平面上两点 A(x1,y1)、B(x2,y2) 的距离公式是 sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2)。在 C++ 中不能直接用 ^2 表示平方，因为 ^ 是按位异或，不是乘方。四个选项里，只有 sqrt(pow(x1 - x2, 2) + pow(y1 - y2, 2)) 正确表达了距离公式，所以选 B。

【易错点】最容易错在把 ^ 当成乘方运算符。

第 8 题（单选题）

已知 int a = 10;，执行 int &b = a; b = 20; 后，变量 a 的值是（）。

编译错误

正确答案B

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【答案】B

【考点】引用；变量别名；赋值

【解析】 int &b = a 表示 b 是 a 的引用，也就是 a 的别名。给 b 赋值 20，本质上就是给 a 赋值 20。所以执行后 a=20，选 B。

【易错点】引用不是复制出一个新变量，而是给原变量起了一个别名。

第 9 题（单选题）

下列代码的时间复杂度（以n为自变量，忽略常数与低阶项）是（）。

long long s = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
        s += j;
    }
}

O(n)

O(n \log n)

O(n \sqrt{n})

O(n^{2})

正确答案C

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【答案】C

【考点】时间复杂度；循环分析；求和估计

【解析】外层循环执行 n 次。当固定 i 时，内层循环条件是 j*j <= i，所以 j 大约跑到 sqrt(i)，内层复杂度是 O(sqrt(i))。总复杂度为 sum_{i=1}^{n} O(sqrt(i)) = O(n sqrt(n))，因此选 C。

【易错点】不能只看成两层循环就直接写成 O(n^2)，关键要看内层到底跑多少次。

第 10 题（单选题）

下列程序实现了线性筛法（欧拉筛），用于在 $O(n)$ 时间内求出 $1 \sim n$ 之间的所有质数。为了保证每个合数只被其最小质因子筛掉，横线处应填入的语句是（）。

for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (!not_prime[i]) primes[++cnt] = i;
    for (int j = 1; j <= cnt && i * primes[j] <= n; j++) {
        not_prime[i * primes[j]] = true;
        if (_____) break; // 在此处填入选项
    }
}

i + primes[j] == n

primes[j] > i

i % primes[j] == 0

i % primes[j] != 0

正确答案C

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【答案】C

【考点】线性筛；质数筛法；最小质因子

【解析】线性筛的关键是让每个合数只被它的最小质因子筛掉一次。当枚举到 primes[j] 时，如果 i % primes[j] == 0，说明 primes[j] 已经是 i 的最小质因子，此时 i * primes[j] 也该在这里停止，后面更大的质数不应再参与当前 i 的筛除。所以应写 if (i % primes[j] == 0) break;，选 C。

【易错点】如果不停下来，很多合数会被重复筛到，就不是线性筛了。

第 11 题（单选题）

在 C++ 语言中，关于类的继承和访问权限，下列说法正确的是（）。

派生类可以访问基类的 private 成员。

基类的 protected 成员在私有继承（private inheritance）后，在派生类中变为 public 。

派生类对象在创建时，会先调用基类的构造函数，再调用派生类自己的构造函数。

派生类对象在销毁时，会先调用基类的析构函数，再调用派生类自己的析构函数。

正确答案C

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【答案】C

【考点】类与对象；继承；构造与析构

【解析】派生类对象创建时，必须先把基类部分构造好，再构造派生类自身，所以先调用基类构造函数，再调用派生类构造函数。 A 错在 private 成员不能被派生类直接访问。B 错在 private 继承后，基类的 public 和 protected 成员在派生类中都变成 private，不会变成 public。 D 错在析构顺序相反，应该先析构派生类，再析构基类。所以选 C。

【易错点】构造顺序和析构顺序正好相反，最容易混淆。

第 12 题（单选题）

当输入 6 时，下列程序的输出结果为（）。

#include <iostream>
using namespace std;
int f(int n) {
    if (n <= 3) return n;
    return f(n - 1) + f(n - 2) + 2 * f(n - 3);
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    cout << f(n) << endl;
    return 0;
}

正确答案B

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【答案】B

【考点】递归；递推；函数求值

【解析】由题意可得 f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3。继续往后算：f(4)=f(3)+f(2)+2f(1)=3+2+2=7，f(5)=f(4)+f(3)+2f(2)=7+3+4=14，f(6)=f(5)+f(4)+2f(3)=14+7+6=27。所以输出 27，选 B。

【易错点】容易把 2 * f(n-3) 漏乘2。

第 13 题（单选题）

从 1 到 999 这 999 个正整数中，十进制表示中数字 5 恰好出现一次的数有多少个？（）

243

271

300

333

正确答案A

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【答案】A

【考点】计数原理；分类计数；数位问题

【解析】把 1 到 999 看成3位数，不足3位的前面补0。要求数字5恰好出现一次。先选哪一位是5，有3种选法；其余两位都不能是5，每位各有9种选法。所以总数为 3 × 9 × 9 = 243，选 A。补零不会带来问题，因为 000 本身不含数字5，不会被算进去。

【易错点】很多人会把一位数、两位数、三位数拆开分类，其实补零后统一处理更快。

第 14 题（单选题）

当输入 2023 时，下列程序的输出结果为（）。

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int x, ans = 0;
    cin >> x;
    while (x != 0) {
        x -= x & -x;
        ans++;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

正确答案C

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【答案】C

【考点】二进制；lowbit；位运算

【解析】表达式 x & -x 会取出 x 的最低位1。循环中每次执行 x -= x & -x，就是把 x 的二进制表示中最低位的一个1消掉，因此循环次数等于二进制里1的个数。 2023 = 1024+512+256+128+64+32+4+2+1，共9个1，所以输出9，选 C。

【易错点】这段程序不是求二进制位数，而是求二进制中1的个数。

第 15 题（单选题）

对连通无向图执行 Kruskal 算法。已按边权从小到大依次扫描到某条边 $e = (u, v)$ 。此时在已经构建的部分 MST 结构中， $(u, v)$ 已在同一连通块内。关于边 $e$ 的处理，下列说法正确的是（）。

必须选入 MST，否则可能不连通。

一定不能选入 MST（在此扫描顺序下）。

若后续出现更大的边权，可以回溯改选

e

。

只有当

e

是当前最小边时才能舍弃。

正确答案B

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【答案】B

【考点】最小生成树；Kruskal；并查集思想

【解析】 Kruskal 按边权从小到大扫描边。如果当前边的两个端点已经在同一连通块中，再加入这条边就会形成环，因此这条边不能加入 MST。所以这条边一定舍弃，选 B。

【易错点】 Kruskal 一旦判断会成环，这条边就直接丢弃，不存在后面再回头改选。

判断题（每题 2 分）

第 1 题（判断题）

若一项任务可用两种互斥方案完成：方案A有m种做法，方案B有n种做法，则总做法数为 $m+n$ 。

正确答案正确

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【答案】正确

【考点】加法原理；分类计数

【解析】任务可以用两种互斥方案完成，说明两类做法之间没有重叠。方案A有 m 种，方案B有 n 种，总做法数就是 m+n。所以本题正确。

【易错点】只有在“两类方案互斥”时，才能直接相加。

第 2 题（判断题）

在C++语言中，引用一旦被初始化，就不能再改为引用另一个变量。

正确答案正确

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【答案】正确

【考点】引用；C++ 基础语法

【解析】引用在定义时必须绑定到某个变量，一旦绑定完成，就不能再改成引用别的变量。后续对引用赋值，是修改它所绑定的那个变量，不是重新绑定。所以本题正确。

【易错点】 “给引用赋值”和“让引用改绑到别处”是两回事。

第 3 题（判断题）

快速排序和归并排序的平均时间复杂度都是 $O(n \log n)$ ，但快速排序是不稳定的排序算法，归并排序是稳定的排序算法。

正确答案正确

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【答案】正确

【考点】排序算法；时间复杂度；稳定性

【解析】快速排序和归并排序的平均时间复杂度都为 O(n log n)。快速排序通常是不稳定排序，归并排序是稳定排序。这两个判断都对，所以本题正确。

【易错点】稳定性考查的是相等元素的相对顺序是否保持。

第 4 题（判断题）

使用 math.h 或 cmath 头文件中的函数，表达式 sqrt(4) 的结果类型为 double。

正确答案正确

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【答案】正确

【考点】数学函数；返回值类型；C++ 标准库

【解析】 sqrt 在 cmath 中返回浮点结果，表达式 sqrt(4) 的结果类型是 double。即使参数写成整数，返回值也不是整型。所以本题正确。

【易错点】参数是整数，不代表返回值也是整数。

第 5 题（判断题）

在杨辉三角形中，第 n 行（从0开始计数，即第 n 行有 $n+1$ 个数）的所有数字之和等于 $2^{n}$ 。

正确答案正确

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【答案】正确

【考点】杨辉三角；二项式定理

【解析】杨辉三角第 n 行各项系数之和，等于 (1+1)^n = 2^n。题目已经说明行号从0开始计数，因此第 n 行所有数字之和就是 2^n。所以本题正确。

【易错点】不要把“第 n 行”与“有 n 个数”的版本混淆，题目这里是有 n+1 个数。

第 6 题（判断题）

使用二叉堆优化的Dijkstra最短路算法，在某些特殊情况下时间复杂度不如朴素实现的 $O(V^{2})$ 。

正确答案正确

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【答案】正确

【考点】Dijkstra；复杂度比较；图的稠密与稀疏

【解析】朴素 Dijkstra 的复杂度是 O(V^2)，二叉堆优化后通常是 O((V+E)logV)。在稠密图中，E 接近 V^2，这时 O((V+E)logV) 可能比 O(V^2) 更差。所以题目说“某些特殊情况下时间复杂度不如朴素实现”是正确的。

【易错点】堆优化不是任何情况下都更快，要看图的边数规模。

第 7 题（判断题）

n 个不同元素依次入栈的出栈序列数与将 n 个不同元素划分成若干非空子集的方案数相等。

正确答案错误

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【答案】错误

【考点】Catalan 数；Bell 数；组合计数

【解析】 n 个不同元素依次入栈的合法出栈序列个数是 Catalan 数。把 n 个不同元素划分成若干非空子集的方案数是 Bell 数。这两个数列不是同一个数列，因此不相等，所以本题错误。

【易错点】都属于计数问题，但对应的模型完全不同。

第 8 题（判断题）

快速排序在最坏情况下的时间复杂度为 $O(n \log n)$ ，可以通过随机化选择基准值（pivot）的方法完全避免退化。

正确答案错误

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【答案】错误

【考点】快速排序；最坏复杂度；随机化

【解析】快速排序最坏情况下的时间复杂度是 O(n^2)，不是 O(n log n)。随机化选 pivot 只能降低退化概率，不能彻底保证永不退化。所以题目两处说法都不对，本题错误。

【易错点】 “随机化能改善平均表现”不等于“能完全消除最坏情况”。

第 9 题（判断题）

在C++语言中，一个类可以拥有多个构造函数，也可以拥有多个析构函数。

正确答案错误

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【答案】错误

【考点】构造函数；析构函数；函数重载

【解析】一个类可以有多个构造函数，因为构造函数可以重载。但析构函数不能重载，一个类只能有一个析构函数。所以题目后半句错误，本题错误。

【易错点】构造函数能重载，析构函数不能重载，这是常见考点。

第 10 题（判断题）

求两个序列的最长公共子序列（LCS）时，使用滚动数组优化空间后，仍然可以还原出具体的LCS序列。

正确答案错误

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【答案】错误

【考点】最长公共子序列；动态规划；空间优化

【解析】滚动数组只保留少量行或列，能算出 LCS 长度，但会丢失很多中间状态。如果不额外保存转移信息，通常无法直接还原出完整的 LCS 序列。所以题目中的说法不成立，本题错误。

【易错点】 “能求长度”和“能还原具体方案”是两个不同层次的问题。