GESP 客观题评测系统

与数组相比，链表在（）操作上通常具有更高的效率。

下面C++代码实现双向链表。函数 is_empty() 判断链表是否为空，如链表为空返回 true，否则返回 false。横线处不能填写（）。// 节点结构体

struct Node {
    int data;
    Node* prev;
    Node* next;
};

// 双向链表结构体

struct DoubleLink {
    Node* head;
    Node* tail;
    int size;

    DoubleLink() {
        head = nullptr;
        tail = nullptr;
        size = 0;
    }

    ~DoubleLink() {
        Node* curr = head;
        while (curr) {
            Node* next = curr->next;
            delete curr;
            curr = next;
        }
    }

    // 判断链表是否为空
    bool is_empty() const {
        ___
    }
};

基于上题代码正确的前提下，填入相应代码完善 append()，用于在双向链表尾部增加新节点，横线上应填写（）。

void append(int data) {
    Node* newNode = new Node{data, nullptr, nullptr};
    if (is_empty()) {
        head = tail = newNode;
    } else {
        ___
    }
    ++size;
}

下列C++代码用循环链表解决约瑟夫问题，即假设 n 个人围成一圈，从第一个人开始数，每次数到第 k 个的人就出圈，输出最后留下的那个人的编号。横线上应填写（）。

struct Node {
    int data;
    Node* next;
};

Node* createCircularList(int n) {
    Node* head = new Node{1, nullptr};
    Node* prev = head;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        Node* node = new Node{i, nullptr};
        prev->next = node;
        prev = node;
    }
    prev->next = head;
    return head;
}

int fingLastSurvival(int n, int k) {
    Node* head = createCircularList(n);
    Node* p = head;
    Node* prev = nullptr;

    while (p->next != p) {
        for (int count = 1; count < k; ++count) {
            prev = p;
            p = p->next;
        }
        ___
    }
    cout << "最后留下的人编号是：" << p->data << endl;
    delete p;
    return 0;
}

下列C++代码判断一个正整数是否是质数，说法正确的是()。

bool is_prime(int n) {
    if (n <= 1)
        return false;
    if (n == 2 || n == 3 || n == 5)
        return true;
    if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0 || n % 5 == 0)
        return false;

    int i = 7;
    int step = 4;
    int finish_number = sqrt(n) + 1;
    while (i <= finish_number) {
        if (n % i == 0)
            return false;
        i += step;
        step = 6 - step;
    }
    return true;
}

下列C++代码用两种方式求解两个正整数的最大公约数，说法错误的是()。

int gcd0(int big, int small) {
    if (big < small) {
        swap(big, small);
    }
    if (big % small == 0) {
        return small;
    }
    return gcd0(small, big % small);
}

int gcd1(int big, int small) {
    if (big < small) {
        swap(big, small);
    }
    for (int i = small; i >= 1; --i) {
        if (big % i == 0 && small % i == 0) {
            return i;
        }
    }
    return 1;
}

下面的代码用于判断整数n是否是质数，错误的说法是（）。

bool is_prime(int n) {
    if (n <= 1) return false;
}

int finish_number = static_cast<int>(sqrt(n)) + 1;
for (int i = 2; i < finish_number; ++i) {
    if (n % i == 0)
        return false;
}
return true;
}

唯一分解定理描述了关于正整数的什么性质？

下面的C++代码，用于求一系列数据中的最大值。有关其算法说法错误的是（）。

int find_max_recursive(const vector<int>& nums, int left, int right) {
    if (left == right)
        return nums[left];
    int mid = left + (right - left) / 2;
    int left_max = find_max_recursive(nums, left, mid);
    int right_max = find_max_recursive(nums, mid + 1, right);
    return max(left_max, right_max);
}

int find_max(const vector<int>& nums) {
    if (nums.empty()) {
        throw invalid_argument("输入数组不能为空");
    }
    return find_max_recursive(nums, 0, nums.size() - 1);
}

下面的 C++ 代码，用于求一系列数据中的最大值。有关其算法说法错误的是（）。

int find_max(const vector<int>& nums) {
    if (nums.empty()) {
        throw invalid_argument("输入数组不能为空");
    }

    int max_value = nums[0];
    for (int num : nums) {
        if (num > max_value) {
            max_value = num;
        }
    }
    return max_value;
}

下面的 C++ 代码用于在升序数组 lst 中查找目标值 target 最后一次出现的位置。相关说法，正确的是（）。

int binary_search_last_occurrence(const vector<int>& lst, int target) {
    if (lst.empty()) return -1;

    int low = 0, high = lst.size() - 1;

    while (low < high) {
        int mid = (low + high + 1) / 2;
        if (lst[mid] <= target) {
            low = mid;
        } else {
            high = mid - 1;
        }
    }

    if (lst[low] == target) {
        return low;
    } else {
        return -1;
    }
}

有关下面C++代码的说法，错误的是（）。

double sqrt_binary(long long n, double epsilon = 1e-10) {
    if (n < 0) {
        throw invalid_argument("输入必须为非负整数");
    }
    if (n == 0 || n == 1) return n;

    // 阶段 1
    long long low = 1, high = n;
    long long k = 0;
    while (low <= high) {
        long long mid = (low + high) / 2;
        long long mid_sq = mid * mid;
        if (mid_sq == n) {
            return mid;
        } else if (mid_sq < n) {
            k = mid;
            low = mid + 1;
        } else {
            high = mid - 1;
        }
    }

    long long next_k = k + 1;
    if (next_k * next_k == n) {
        return next_k;
    }

    // 阶段 2
    double low_d = (double)k;
    double high_d = (double)(k + 1);
    double mid;

    while (high_d - low_d >= epsilon) {
        mid = (low_d + high_d) / 2;
        double mid_sq = mid * mid;
        if (mid_sq < n) {
            low_d = mid;
        } else {
            high_d = mid;
        }
    }

    double result = (low_d + high_d) / 2;
    long long check_int = (long long)(result + 0.5);
    if (check_int * check_int == n) {
        return check_int;
    }

    return result;
}

硬币找零问题中要求找给客户最少的硬币。coins 存储可用硬币规格，单位为角，假设规格都小于10角，且一定有1角规格。amount 为要找零的金额，约定必须为1角的整数倍。输出为每种规格及其数量，按规格从大到小输出，如果某种规格不必要，则输出为0。下面是其实现代码，相关说法正确的是（）。

const int MAX_COINS = 10;
int result[MAX_COINS] = {0}; // 假设最多10种面额

int find_coins(vector<int> coins, int amount) {
    sort(coins.begin(), coins.end(), greater<int>());
    int n = coins.size();

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int coin = coins[i];
        int num = amount / coin;
        result[i] = num;
        amount -= num * coin;
        if (amount == 0) break;
    }

    cout << "找零方案如下：" << endl;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cout << coins[i] << "角需要" << result[i] << "枚" << endl;
    }

    return 0;
}

关于下述C++代码的快速排序算法，说法错误的是（）。

int randomPartition(std::vector<int>& arr, int low, int high) {
    int random = low + rand() % (high - low + 1);
    std::swap(arr[random], arr[high]);

    int pivot = arr[high];
    int i = low - 1;

    for (int j = low; j < high; j++) {
        if (arr[j] <= pivot) {
            i++;
            std::swap(arr[i], arr[j]);
        }
    }
    std::swap(arr[i + 1], arr[high]);
    return i + 1;
}

void quickSort(std::vector<int>& arr, int low, int high) {
    if (low < high) {
        int pi = randomPartition(arr, low, high);
        quickSort(arr, low, pi - 1);
        quickSort(arr, pi + 1, high);
    }
}

小杨编写了一个如下的高精度除法函数，则横线上应填写的代码为（）。

const int MAXN = 1005; // 最大位数
struct BigInt {
    int d[MAXN]; // 存储数字, d[0]是个位, d[1]是十位, ...
    int len; // 数字长度

    BigInt() {
        memset(d, 0, sizeof(d));
        len = 0;
    }
};

// 比较两个高精度数的大小

int compare(BigInt a, BigInt b) {
    if (a.len != b.len) return a.len > b.len ? 1 : -1;
    for (int i = a.len - 1; i >= 0; i--) {
        if (a.d[i] != b.d[i]) return a.d[i] > b.d[i] ? 1 : -1;
    }
    return 0;
}

// 高精度减法

BigInt sub(BigInt a, BigInt b) {
    BigInt c;
    for (int i = 0; i < a.len; i++) {
        c.d[i] += a.d[i] - b.d[i];
        if (c.d[i] < 0) {
            c.d[i] += 10;
            c.d[i + 1]--;
        }
    }
    c.len = a.len;
    while (c.len > 1 && c.d[c.len - 1] == 0) c.len--;
    return c;
}

// 高精度除法 (a/b, 返回商和余数)

pair<BigInt, BigInt> div(BigInt a, BigInt b) {
    BigInt q, r; // q是商, r是余数

    if (compare(a, b) < 0) { // 如果a<b, 商为0, 余数为a
        q.len = 1;
        q.d[0] = 0;
        r = a;
        return make_pair(q, r);
    }

    // 初始化余数r为a的前b.len位
    r.len = b.len;
    for (int i = a.len - 1; i >= a.len - b.len; i--) {
        r.d[i - (a.len - b.len)] = a.d[i];
    }

    // 逐位计算商
    for (int i = a.len - b.len; i >= 0; i--) {
        // 把下一位加入余数
        if (r.len > 1 || r.d[0] != 0) {
            for (int j = r.len; j > 0; j--) {
                r.d[j] = r.d[j - 1];
            }
            ___
        } else {
            r.d[0] = a.d[i];
            r.len = 1;
        }

        // 计算当前位的商
        while (compare(r, b) >= 0) {
            r = sub(r, b);
            q.d[i]++;
        }
    }

    // 确定商的长度
    q.len = a.len - b.len + 1;
    while (q.len > 1 && q.d[q.len - 1] == 0) q.len--;

    // 处理余数前导零
    while (r.len > 1 && r.d[r.len - 1] == 0) r.len--;

    return make_pair(q, r);
}

下面C++代码是用欧几里得算法（辗转相除法）求两个正整数的最大公约数，a大于b还是小于b都适用。

int gcd(int a, int b) {
    while (b) {
        int temp = b;
        b = a % b;
        a = temp;
    }
    return a;
}

假设函数 gcd() 能正确求两个正整数的最大公约数，则下面的 lcm() 函数能求相应两数的最小公倍数。

int lcm(int a, int b) {
    return a * b / gcd(a, b);
}

下面的C++代码用于输出每个数对应的质因数列表，输出形如：{5: [5], 6: [2, 3], 7: [7], 8: [2, 2, 2]}。

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    if (n > m) swap(n, m);
    map<int, vector<int>> prime_factor;
    for (int i = n; i <= m; ++i) {
        int j = 2, k = i;
        while (k != 1) {
            if (k % j == 0) {
                prime_factor[i] = prime_factor[i] + j;
                k / = j;
            } else {
                ++j;
            }
        }
    }
    for (auto& p : prime_factor) {
        cout << p.first << "";
        for (int v : p.second) {
            cout << v << "";
            cout << endl;
        }
    }
    return 0;
}

下面的C++代码实现归并排序。代码在执行时，将输出一次 HERE 字符串，因为merge()函数仅被调用一次。

void merge(std::vector<int>& arr, int left, int mid, int right) {
    std::vector<int> temp(right - left + 1);

    int i = left;
    int j = mid + 1;
    int k = 0;

    while (i <= mid && j <= right) {
        if (arr[i] <= arr[j]) {
            temp[k++] = arr[i++];
        } else {
            temp[k++] = arr[j++];
        }

        while (i <= mid) {
            temp[k++] = arr[i++];
        }
    }

    while (j <= right) {
        temp[k++] = arr[j++];
    }

    for (int p = 0; p < k; ++p) {
        arr[left + p] = temp[p];
    }
}
void mergeSort(std::vector<int>& arr, int left, int right) {
    if (left >= right) {
        return;
    }
    int mid = left + (right - left) / 2;
    mergeSort(arr, left, mid);
    mergeSort(arr, mid + 1, right);
    std::cout << "HERE";
    merge(arr, left, mid, right);
}

归并排序的最好、最坏和平均时间复杂度均为$O(n \log n)$。

查字典这个小学生必备技能，可以把字典视为一个已排序的数组。假设小杨要查找一个音音字母为 g 的单词，他首先翻到字典约一半的页数，发现该页的首字母是 m，由于字母表中 g 位于 m 之前，所以排除字典后半部分，查找范围缩小到前半部分；不断重复上述步骤，直至找到首字母为 g 的页码。这种查字典的一系列操作可看作二分查找。

求解下图中A点到D点最短路径，其中A到B之间的12可以理解为距离。求解这样的问题常用 Dijkstra 算法，其思路是通过逐步选择当前距离起点最近的节点来求解非负权重图（如距离不能为负值）单源最短路径。从该算法的描述可以看出，Dijkstra 算法是贪心算法。

分治算法将原问题可以分解成规模更小的子问题，使得求解问题的难度降低。但由于分治算法需要将问题进行分解，并且需要将多个子问题的解合并为原问题的解，所以分治算法的效率通常比直接求解原问题的效率低。

函数 puzzle 定义如下，则调用 puzzle(7) 程序会无限递归。

int puzzle(int n) {
    if (n == 1) return 1;
    if (n % 2 == 0) return puzzle(n / 2);
    return puzzle(3 * n + 1);
}

如下为线性筛法，用于高效生成素数表，其核心思想是每个合数只被它的最小质因数筛掉一次，时间复杂度为$O(n)$。

for (int j = 0; j < primes.size() && i * primes[j] <= n; ++j) {
is_prime[i * primes[j]] = false;
if (i % primes[j] == 0) {
    break;
}
}
}
}
return primes;
}